Osnove obradbe signala - usmeni

Sinusoida/kosinusoida:

je amplitda ili je frekvencija signala je faza

Reprezetnacija sinunsoide:

Eksponencijalna funkcija

Veza između diskretne i kont. eksponencijale:

Jedinični impuls (Kroneckova delta funckija)

č

Jedinična stepenica:

č

Veza između Kroneckove delta funkcije i jedinične stepenice: sumacija od do po

Signal rastavljamo u njegove gradivne komponente koje se sastoje od drugih signala (bazne funkcije ) a spektar () označava doprinos pojedine bazne funkcije.

Rastav signala na bazne funckije i njihov spektar može sadržavati prebrojivo ili neprebrojivo mnogo baznih funckija.

Najpoznatnija metoda rastava signala je Fourierova transformacija.

Skalarnim umnoškom možemo pronaći spektar na način da primjenimo skalarni umnožak na gornju jednadžbu nakon čega dobivamo sljedeći izraz:

Primjetiti da je . Sad možemo izraziti spektar kao:

gdje:

Operacija konjugira sve elemente matrice. Konjugirana matrica je ista matrica kao i originalna ali svi kompleksni brojevi imaju promjenjeni predznak +-.

Operacija daje hermatski transponiranu matricu(matrica koja je konjugirana i transponirana)

Fouriervoa baza () je i također je ortogonalna

Spektar (DTFN):

Signal (IDFTN):

Očitavanje/uzorkovanje/otpikavanje kontinuiranog signala jest postupak uzimanja jednoliko vremenski razmaknutih uzoraka tog signala. Jednoliki vremenski razmak između uzoraka zovemo period očitavanja i označavamo s .

Signalu pridružjemo uzorke

što se može čitati “uzorak u koraku n sadrži vrijednost signala u trenutku

Ako uz zadovoljen uvjet teorema očitavanja uzorci signala jednoznačno opisuju signal onda to znači da mora postojati postupak rekonstrukcije signala iz njegovih uzoraka. Taj postupak zovemo interpolacija.

Međutim, želimo vremenski kont. signal i njegove uzorke prikazati u istoj domeni. To radimo tako da uvedemo novi kont. signal koji sadržava istu informaciju kao i . To je zapravo kontinuirana verzija očitanog signala . Logički gledajući situacija je sljedeća:

č

Mora biti jer gubimo sve informacije na tim mjestima.

Očitavanje na mjestima na kojima želimo radimo sa Diracovom delta funkcijom.

Za jednostavniju interpretaciju koristimo Diracov češalj (periodizirane Diracove delta funkcije)

Sad originalan signal ponožimo sa Diracovim češljem

Što je sa spektrom? Kako se on očitava?

Spektar očitanog signal iz spektra izvornog signala dobivamo kao:

što je periodizacija spektra

Ako uz zadovoljen (za sada nedefinirani) uvjet teorema očitavanja uzorci signala jednoznačno opisuju signal onda to znači da mora postojati postupak rekonstrukcije signala iz njegovih uzoraka. Taj postupak zovemo interpolacija.

Za rekonstrukciju u spektralnoj domeni potrebno je zadovoljiti Nyquistov uvjet. Za pojasno ograničene signale maksimalne frekvencije nema preklapanja spektra ako je zadovoljen uvjet

Jednostavnije: frekvencije očitavanja () mora biti duplo veća od maksimalne frekvencije

Ako je Nyquistov uvjet zadovoljen iz pozantog spektra možemo odrediti polazni spektar tako da:

• spektar pomnožimo s
• ostavimo samo temeljni period oko ishodišta koji je duljine

Taj postupak se zove filtracija a matematički se može zapisati kao:

gdje je spektar :

Veza filtracije i konvolucije

Konvolucija :

Konvolucija u vremenskoj domeni rezultira množenjem u spektralnoj domeni.

Sad se mogu dva spektra pomnožiti (spektar se definira kao integral originalnog signala pomnožen sa ) čime se dobiva izraz u kojem središnji integral sadržava definiciju konvolucije dva signala. Jedan signal je a drugi je signal koji “tražimo” je . Taj signal možemo izračunati tako da napravimo inverz (ICTFT) njegovog poznatog spektra koji je definiran gore. Inverz ispadne

Sad znamo da spektralna filtracija postaje konvolucija u vremenskoj domeni:

Dodatno,

Shannonova interpolacijska formula ili jednostavnije idealnom sinc interpolacijom.

Formula nam u osnovi govori da kontinuirani signal rekonstruiramo tako da na mjesto svakog uzorka postavimo funkciju sinc skaliranu tako da njena amplituda bude upravo jednaka amplitudi uzorka.

Ulazne veličine su one koje utječu na vladanje sustava i zovemo ih pobudom. Izlazne veličine su one kojima sustav utječe na vanjski svijet i zovemo ih odzivom. Oboje su vremenske funkcije koje ovise o nezavisnoj varijabli koja mjeri vrijeme.

Sustav prema tome možemo opisati tako da modeliramo kako ulazne veličine utječu na izlazne veličine.

Sustav koja povezuje ulaz i izlaz . Kažemo da je odziv sustava na pobudu

Primjeri sustava:

Malo šire o svojstvima sustava:

• vremenska nepromjenjivost (engl. time invariance)
• linearnost (engl. linearity)
• posjedovanje memorije (engl. systems with memory)
• kauzalnost (engl. causality)
• stabilnost (engl. stability)
• realizabilnost (engl. realizability)

Vremenska nepromjenjivost

Sustav je vremenski nepromjenjiv ako za svaki ulazno-izlazni par signala i te za svaki pomak vrijedi da je odziv na zakašnjelu/pomaknutu pobudu jednak zakašnjelom/pomaknutom odzivu

U praksi smjer pomaka prema budućnosti je nemoguć jer to znači da ovisimo o budućim uzorcima signala.

Linearnost i superpozicija

Svojstvo linearnosti sastoji se od:

1. svojstva aditivnosti
2. svojstvo homogenosti

a sustavi koji su linearni zadovoljavaju svojstvo superpozicije.

Linearno vremenski nepromjenjivi (LTI) sustavi su oni koji zadovoljavaju svojstvo:

• linearnosti
  • aditivan
  • homogen
• vremenske nepromjenjivosti

Aditivnost

Promatramo dva ulazna signala . Svaki od njih ima svoj odziv koji se dobije tako da provućemo ulazni signal kroz sustav . Ako napravimo sljedeće:

• zbrojimo
• provućemo kroz kroz sustav i dobijemo odziv

ako je odziv jednak zbroju pojedinih odziva onda kažemo da je sustav aditivan (mora vrijediti za svaki ulazno-izlazni par signala)

Homogenost

Sustav je homogen ako ulazni signal pomnožimo sa a odziv bude pojačan upravo sa (ovisi je li ili )

Linearnost

Sustav je linearan ako je aditivan i homogen za svaki ulazno-izlazni par:

Prije svega, želimo predstaviti sustav sa funkcijom koja definira kako se računa jedan izlazni uzorak u koraku a općenito ta funckija može ovisti o više ulaznih uzoraka (), dakle:

Međutim želimo ograničiti broj uzoraka koji je potreban za računanje odziva na neku konačnu vrijednost (računala…)

Dva svojstva koja ograničavaju broj uzoraka su:

• (ne)posjedovanje memorije
  • bezmemorijski sustavi
  • memorijski sustavi
• kauzalnost

Bezmemorijski sustav

Sustav je bezmemorijski ako računamo odziv sustava u koraku () i za računanje odziva moramo znati samo vrijednost .

Memorijski sustav

Sustav je memorijski ako za računanje odziva sustava u koraku () trebamo znati ulazni signal koji se NIJE dogodio u trenutku već u nekom drugom trenutku . Dakle .Red sustava je konačan broj ulaznih uzoraka o kojem ovisi pobuda .

Primjer memorijskog sustava prvog reda. Ovaj sustav ovisi o samo jednom dodatnom uzorku osim a to je :

Kauzalnsot

Kauzalnost u općem smislu jest veza koja opisuje kako neki događaj kojeg zovemo uzrok utječe na neki drugi događaj kojeg zovemo posljedica.

U obradbi signala kauzalnost sustava znači da odziv sustava ne smije ovisiti o pobudi sustava koja se još nije dogodila.

Odziv u koraku smije ovisiti samo o pobudama za koje vrijedi :

Formalno (Sustav je kauzalan ako ne postoji budući korak takav da je izlaz sustava ovisan o budućoj ulaznoj vrijednosti u tom budućem koraku ):

Nekauzalnost

Nekauzalan sustav je sustav koji nije kauzalan. Dakle, sustav čija pobuda može ovisiti o ulazima za koje vrijedi (trenutak ulaznih signala se dogodio nakon trenutka pobuda).

Impulsni odziv sustava je skup odziva koji su pomaknuti sa jediničnim impulsom a označavamo ih sa

Skup svih u potpunosti određuje sustav .

Bitno je napomenuti da je svojstvena funckija a linearni sustav koji koristi svojstvenu funkciju ne mijenja ulazni signal osim što ga eventualno amplitudno skalira.

Konvolucija i odziv sustava

Odziv na za bez pomaga je upravo a zbog vremenske nepromjenjivosti sustava imamo:

Sad možemo ispustiti i koristiti samo tj.

Sad za linearni vremenski nepromjenjivi sustav dobivamo konvoluciju:

Pomoću konvolucije možemo opisati ponašanje svakog linearnog vremenski nepromjenjivog sustava.

Rezime:

Dodatno: kauzalni linearni vremenski nepromjenjivi sustavi

Linearan vremenski nepromjenjiv sustav S opisan svojim impulsnim odzivom je kauzalan ako je za sve negativne korake .

Konvolucija za kauzalne signale za koje vrijedi za se reducira u konačnu sumu:

Dodatan način reprezentacije LTI sustava

Krećemo od Z transformacija koje djeluje na konvolucije:

presjek njihovih područja konvergencije je određen s

ako su svi signali kauzalni rasta ne većeg od eksponencijalnog onda pa je područje konvergencije (RoC) uvijek neprazan oblika $ r < |z| $.

Kako Z transformacija konvoluciju pretvara u množak imamo:

Obzirom da impulsni odziv u otpunosti opisuje LTI sustav isto to vrijedi i za njegovu Z transformaciju H(z).

Sad imamo tri glavne zadaće a mi promatramo uglavnom konvolucijsku zadaću:

ćć

Odziv LIT sustava na diskretnu eksponencijalu je;

gdje je prijenosna funkcija sustava. Diskretna eksponencijala jest svojstvena funckija LIT sustava i konvolucijske sume a je pripadna svojestvena vrijednost:

Ukoliko zamjenimo Z transformaciju sa DTFT-om dobivamo:

DTFT transformacija impulznog odziva daje što i dalje u potpunosti određuje LTI sustav pa vrijedi da je frekvencijska karakteristika sustava jednaka:

ako RoC prijenosne funkcije H(z) obuhvaća jediničnu kružnicu.

Sustav je (BIBO, bounded-input, bounded-output) stabilan ako za svaku amplitudno ograničenu pobudu daje amplitudno ograničeni odziv.

Signal je amplitudno ograničen ako postoji broj takav da vrijedi

Dakle sustav je stabilan ako za svaki ulaz koji za koji vrijedi postoji pozitivna konstanta takva da:

Stabilnost preko impulsnog odziva

Neka je amplitudno ograničen sa konstantom :

LTI sustav određen impulsnim odzivom je BIBO stabilan ako

Stabilnost preko prijenosne funckije

ako je LTI sustav stabilan onda područje konvergencije prijenosne funckije sadrži jediničnu kružnicu

LTI stabilnost konkretno

Područje konvergencije stabilnog LTI sustava mora sadržavati jediničnu kružnicu pa je

Vremenski diskretan LTI sustav opisan linearnom diferencijskom jednadžbom sa stalnim koeficijentima je stabilan ako se svi polovi njegove prijenosne funkcije nalaze unutar jedinične kružnice.

Filtracija je postupak u kojem se dizajniraju sustavi koji propuštaju i/ili prigušavaju odredene frekvencije signala. To je postupak uklanjanja neželjenih značajki ili komponenta signala. Najčešće to znači uklanjanje nekih frekvencija ili frekvencijskih pojaseva.

Dizajniranje filtra znači odrediti koeficijente prijenosne funkcije digitalnog filtra koje zadovoljavaju zadanu filtarsku specifikaciju. Tu zadaću pronalaženja filtarskih koeficijenata nazivamo računalnom podržani dizajn filtara. Glavni problem kod dizajniranja filtra jest određivanje koeficijenata prijenosne funkcije:

takvih da frekvencijska karakteristika filtra dobro aproksimira neku željenu frekvecnijsku karakteristiku .

IIR i FIR

za kauzalne vremenski diskretne LTI sustave je za pa vrijedi:

IIR (Infinite Impulse Response) sustavi su oni za koje je impulsni odziv definiran za beskonačni interval

FIR (Finate Impulse Response) sustavi su oni za koje je impulsni odziv definiran za konačni interval

IIR sustavi

Originalan izraz pretvaramo u implicitan oblik preko lienarne diferencijske jednadžbe s konstantnim koeficijentima: